Notas técnicas sobre el cálculo de la volatilidad

volatilidad portada

Calcular la volatilidad de los activos financieros es algo fundamental para poder hacer una gestión de riesgos adecuada.
La volatilidad se suele definir como la variación en las rentabilidades. Así, a mayor volatilidad, mayor es el riesgo de que la rentabilidad sea distinta de la esperada.

Hasta aquí el concepto es bastante simple de seguir. La dificultad radica en que la volatilidad no es constate en el tiempo y los cambios de volatilidad pueden afectar el funcionamiento de nuestros sistemas de inversión. Además el cálculo de la volatilidad tiene algunos aspectos importantes que hay que tener en cuenta.

Sobre estos temas técnicos sobre el cálculo de la volatilidad es de lo que vamos a tratar hoy.

Calcular la volatilidad de forma estadística: La desviación estándar

La desviación estándar (también llamada desviación típica) es la medida de riesgo más utilizada cuando se trabaja con modelos de inversión.

La desviación estándar mide qué tan dispersos están los datos con respecto a su media. Ya puede ser la dispersión de los retornos de un activo o las variaciones en la rentabilidad de una cartera.

La volatilidad se calcula como la desviación estándar de los rendimientos logarítmicos. Los rendimientos logarítmicos se suelen calcular sobre los precios de cierre.
Nota: Si quieres saber por qué se deben utilizar rendimientos logarítmicos puedes leer este artículo.

desviación tipica
Fórmula de cálculo de la varianza y desviación típica

Probabilidades: Por qué se piensa que a mayor volatilidad, mayor riesgo

Cuando estamos en una distribución normal, la probabilidad de que una variable tome un cierto valor está relacionada con su distancia respecto a la media (distancia medida en términos de desviaciones estándar). Cuando mayor sea la volatilidad histórica (la volatilidad calculada sobre las rentabilidades pasadas), mayor puede ser la probabilidad de que la rentabilidad futura esté más alejada de la rentabilidad esperada (entendida como a rentabilidad media calculada a partir de los datos de una distribución de rentabilidades pasadas del activo).

A una unidad de desviación se la suele llamar sigma ( σ )
En los modelos de teoría de carteras (basados en una distribución normal de datos), una desviación estándar de la media representa un intervalo de confianza del 68% de todas las observaciones dentro de la distribución media. Dos desviaciones representan el 95% de los casos. Tres desviaciones típicas representan el 99% de los datos.
Este es el marco teórico, a la hora de analizar los rendimientos reales, las desviaciones a más de 3 sigmas se dan con mayor frecuencia de lo que la teoría sugiere.

desviación estándar y distribución normal
A un sigma de distancia están el 64.2% de los datos ( 34,1% a cada lado de la media)

Los periodos de cálculo de la volatilidad

Al trabajar en sistemas de inversión muchas veces nos encontramos con que la volatilidad está medida en intervalos de tiempo distintos.

Generalmente tenemos datos de rentabilidades y volatilidades diarias, pero también es útil anualizar (convertir) las rentabilidades para poder hacer comparaciones y saber cuánta dispersión podemos esperar en un año. A la inversa, si tenemos datos de volatilidad anual podemos necesitar convertirlos a datos diarios para poder estimar la volatilidad diaria que tendrá la cartera.


Cómo transformar la volatilidad de distintos periodos

Cuando se trata de la rentabilidad simple, estimar la rentabilidad anual es muy sencillo, simplemente multiplicamos la rentabilidad diaria por el número de días del año.
Así:

Rentabilidad anual = rentabilidad diaria * número de días laborales del año

Sin embargo, cuando se trata de la volatilidad la transformación tiene un pequeño detalle porque:

La volatilidad no se incrementa en la misma proporción que la rentabilidad sino que crece como la raíz cuadrada del tiempo.

Sé que lo de multiplicar por la raíz cuadrada no es fácil de interpretar de una forma intuitiva, pero vamos a entrar en más detalles más adelante en el artículo. Por ahora vamos con unas reglas simples de conversiones.

De forma general, tendremos 254 días laborables por año. Así que si tenemos solamente el dato de la volatilidad diaria lo podremos anualizar como:

De diario a anual:

Volatilidad anual = Volatilidad diaria * raíz cuadrada (254) = Volatilidad diaria * 254^(1/2)


o lo que es más simple,

Volatilidad anual = volatilidad diaria multiplicada por 16

También a veces necesitaremos hacer el proceso inverso y transformar la volatilidad anual en diaria

Volatilidad diaria = volatilidad anual / raíz cuadrada (254)

En el caso en el que debamos anualizar la rentabilidad mensual:

Escalar de mensual a anual (tenemos 12 meses en un año)

Volatilidad anual = volatilidad mensual * raíz cuadrada(12)

Y en caso de tener volatilidad semanal:

Escalar de semanal a anual (aproximamos a la cantidad de semanas del año)

Volatilidad anual = volatilidad semanal * raiz cuadrada(54)


Lo pillas ¿verdad?
Ahora bien, ¿por qué siempre hay que utilizar la regla de la raíz cuadrada del tiempo?


¿Por qué la volatilidad es proporcional a la raíz cuadrada del tiempo y no directamente al tiempo?

Comprender cómo crece la volatilidad es algo que siempre me ha interesado.

Además, la regla de la raíz cuadrada es algo que había escuchado que se debía utilizar, pero no me quedaba muy claro el motivo.

Bien, la explicación que he encontrado habla de la teoría de los precios aleatorios (random walk).
De acuerdo con esta teoría, nos basamos en una distribución que es estable en el tiempo y las fluctuaciones del proceso estocástico son independientes entre sí.
También podemos saber que la varianza de la suma de las variables aleatorias (en este caso no correlacionadas) es igual a la suma de sus varianzas.

Así:

Como en el modelo también se asumía una distribución estable, podemos reescribir:

Ahora hacemos un poco de mates y aplicamos la raíz cuadrada a ambos lados.
También, no está de más recordar la regla que la raíz cuadrada de un producto es igual al producto de sus raíces
(√(a^∗ b)=√a∗√b ).
Y recordamos que la desviación típica ( σ ) es la raíz cuadrada de la varianza

Notas sobre las estimaciones

Recuerda que cuando estimas la volatilidad anual estás haciendo eso: estimando.

En el caso de las estimaciones, la fracción del día, semana o mes que tomes como base para calcular la volatilidad anualizada tendrá un impacto en el resultado. No se obtendrá el mismo valor de la volatilidad anual si se calcula a partir de la volatilidad diaria que si se calcula a partir de la volatilidad semanal o de otra fracción del año.

Si te interesa comprobarlo, te dejo un excel al final del artículo con el que puedes ver cómo afecta al cálculo anualizado de la volatilidad.

Además, ten en cuenta la cantidad de datos a partir de los cuales vas a calcular la volatilidad. Busca no estimar una volatilidad futura basada en una condición particular de volatilidad de un momento dado.

Otra cosa a tener en cuenta es que estamos tomando únicamente los precios de cierre de cada time frame. Esto no está teniendo en cuenta la amplitud del rango (máximo – mínimos y gaps) como en el caso del cálculo del ATR.

Calcular la volatilidad: ejemplo con Excel

Ahora vamos a unir todo lo que hemos comentado en el artículo en un ejemplo con Excel. No utilizo excel porque piense que es la mejor herramienta, simplemente porque usar hojas de cálculo nos permiten comprender mejor haciendo las cosas «a mano» que utilizando otras herramientas.

Pasos para calcular la volatilidad en Excel:

  1. Comenzamos con los datos. En este caso utilizamos los datos diarios de cierre del índice SP500. Yo los he descargado desde Yahoo Finance con el ticker ^GSPC
  2. A partir de los datos de cierre (utiliza los datos de cierre ajustados si trabajas con acciones), calculamos los rendimientos logarítmicos diarios (recuerda que no es lo mismo utilizar los rendimientos simples que los logarítmicos). Rendimiento Logarítmico = LN (precio hoy / precio ayer)
  3. La rentabilidad anualizada es la desviación estándar de los rendimientos multiplicada por la raíz cuadrada de la cantidad de días. En mi ejemplo hay 251 días con cotizaciones para ese año.
  4. Puedes ver que si calculamos la rentabilidad logarítmica en escala mensual y utilizamos esos datos mensuales para calcular la volatilidad anualizada no nos da lo mismo que cuando utilizamos los datos en diario. Esto es así porque la rentabilidad mensual solo tiene en cuenta los datos desde la cotización de cierre de un mes a la cotización de cierre del siguiente. No toma en cuenta la variación y volatilidad de los días dentro de un mes.

Aquí debajo puedes descargar un Excel de ejemplo:


Para saber más:

Fuentes:
https://www.macroption.com/why-is-volatility-proportional-to-square-root-of-time/

http://ordrespontane.blogspot.com/2018/01/volatility-and-square-root-of-time.html



3 comentarios en «Notas técnicas sobre el cálculo de la volatilidad»

  1. Hola!
    Este artículo me ha parecido muy interesante y quería compartir contigo un apunte. Cuando estamos calculando la volatilidad de un activo, tenemos dos opciones: utilizar la totalidad de los datos históricos (población) o utilizar una fracción de ellos (muestra).
    Generalmente, nos interesará utilizar los N últimos años por varias razones, como la falta de datos o el querer modelar el comportamiento más reciente. En esta último caso, al utilizar los datos de una muestra, hay que tener presente la corrección de Bessel a la hora de realizar los cálculos para que la estimación sea más precisa. Esto es dividir no entre N (número de muestras), sino entre N-1, tanto en el cálculo de la media como en el de la varianza o en el de la desviación estándar.
    Solamente cuando utilicemos la totalidad de los datos históricos (la población) deberemos dividir entre N para calcular las distintas métricas.

    Un saludo,
    MC

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